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diff --git a/controle-20220413.tex b/controle-20220413.tex new file mode 100644 index 0000000..699743d --- /dev/null +++ b/controle-20220413.tex @@ -0,0 +1,377 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +\newcommand{\val}{\operatorname{val}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\else +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\fi +\author{} +\date{13 avril 2022} +\maketitle + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités +dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon +très visible dans les copies où commence chaque exercice. + +La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé du dernier +exercice est long parce que beaucoup de rappels ont été faits et que +la rédaction des questions cherche à donner tous les éléments +nécessaires pour passer d'une question aux suivantes. + +La difficulté des questions étant variée, il vaut mieux ne pas rester +bloqué trop longtemps. + +Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut +valoir une partie des points. + +\medbreak + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des appareils électroniques est interdit. + +\medbreak + +Durée : 2h + +\ifcorrige +Ce corrigé comporte 9 pages (page de garde incluse). +\else +Cet énoncé comporte 5 pages (page de garde incluse). +\fi + +\vfill +{\noindent\tiny +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + + +% +% +% + +\exercice + +Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$. Soit $C$ le fermé de +Zariski de $\mathbb{A}^2$ sur $k$ d'équation $x^2 + y^2 = 2$ (ainsi, +pour $k = \mathbb{R}$, les points réels de $C$ forment un cercle +euclidien de rayon $\sqrt{2}$). + +(1) Décrire la complétée projective $C^+$ de $C$ (c'est-à-dire +l'adhérence de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ où on identifie comme +d'habitude $\mathbb{A}^2$ à l'ouvert $T\neq 0$ du $\mathbb{P}^2$ de +coordonnées $(T:X:Y)$ en envoyant $(x,y)$ sur $(1:x:y)$). + +(2) En remarquant que $P := (1,1)$ est un $k$-point de $C$ et en +considérant une droite $D_t$ de pente $t$ variable passant par $P$, +construire un morphisme d'un ouvert\footnote{C'est-à-dire qu'il peut + admettre un nombre fini de points (géométriques) où il n'est pas + défini.} de $\mathbb{A}^1$ vers $C$ (défini sur $k$), en envoyant +$t$ sur le point d'intersection autre que $P$ de $C$ avec la +droite $D_t$. + +(3) En déduire un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ (défini sur $k$) en +prolongeant le morphisme de la question précédente. + +(4) Donner un exemple de solution entière $(u,v,w) \in \mathbb{Z}^3$ +de l'équation $u^2 + v^2 = 2w^2$ autre que $(0,0,0)$ et $(\pm 1, \pm +1, \pm 1)$. + + +% +% +% + +\exercice + +Sur un corps $k$ quelconque, considérons l'application $\varphi$ +définie sur une partie de $\mathbb{P}^2$ et à valeurs dans +$\mathbb{P}^2$ qui envoie le point de coordonnées homogènes $(X:Y:Z)$ +sur $(YZ:XZ:XY)$ si défini. + +(1) Quel est l'ouvert de Zariski $U$ de définition de $\varphi$ ? +Exprimer celui-ci comme le complémentaire de trois points de +$\mathbb{P}^2$ dont on précisera les coordonnées. + +(2) Quel est l'ouvert de Zariski $V$ des points (de $U$) dont l'image +par $\varphi$ appartient à $U$ ? Exprimer celui-ci comme le +complémentaire de trois droites de $\mathbb{P}^2$ dont on précisera +les équations. + +(3) Que vaut $\varphi\circ\varphi$ sur $V$ ? + + +% +% +% + +%% \exercice + +%% On définit deux suites de polynômes $(T_n)$ et $(U_n)$ +%% dans $\mathbb{Z}[x]$ (polynômes de Čebyšëv de première et seconde +%% espèce) par les formules de récurrence suivantes : +%% \[ +%% \left\{\begin{aligned} +%% T_0(x) &= 1\\ +%% T_1(x) &= x\\ +%% T_{n+1}(x) &= 2x\, T_n(x) - T_{n-1}(x)\\ +%% \end{aligned}\right. +%% \;\;\;\hbox{~et~}\;\;\; +%% \left\{\begin{aligned} +%% U_{-1}(x) &= 0\\ +%% U_0(x) &= 1\\ +%% U_{n+1}(x) &= 2x\, U_n(x) - U_{n-1}(x)\\ +%% \end{aligned}\right. +%% \] + + +% +% +% + +\exercice + +Soit $k$ un corps de caractéristique $0$ et qu'on supposera +algébriquement clos pour simplifier. Soient $\xi_1,\ldots,\xi_5 \in +k$ deux à deux distincts : on appelle $p(x) = (x-\xi_1)\cdots(x-\xi_5) +\in k[x]$ le polynôme unitaire ayant les $\xi_i$ pour racines. On +appelle $C^+$ la courbe (dite « hyperelliptique ») obtenue en ajoutant +un point à l'infini\footnote{Pour être tout à fait exact, il ne s'agit + pas de la complétée projective de $C$ dans $\mathbb{P}^2$, mais + d'une « désingularisation » de celle-ci (qui a cependant un unique + point en plus de ceux de $C$ comme la complétée projective). Les + questions qui suivent ont été rédigées de manière à ce que cette + subtilité ne pose pas de problème.} noté $\infty$ à la variété +algébrique affine $C$ d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$. + +On admettra sans justification les faits suivants : +\begin{itemize} +\item Que son corps des fonctions $K := k(C^+)$ peut se voir comme le + quotient $k(x)[y]/(y^2 - p(x))$ de l'anneau $k(x)[y]$ des polynômes + en l'indéterminée $y$ sur le corps $k(x)$ des fractions rationnelles + en une indéterminée $x$ sur $k$ par le polynôme $y^2 - p(x)$ + définissant $C$, c'est-à-dire, concrètement : +\item que tout élément de $K$ peut s'écrire de façon unique $g_0 + + g_1\,y$ où $g_0,g_1 \in k(x)$ sont deux fractions rationnelles + en $x$, l'addition se calculant en ajoutant terme à terme, et la + multiplication en développant le produit et en remplaçant $y^2$ par + $p(x)$. +\end{itemize} + +On rappelle par ailleurs qu'une \emph{valuation discrète} sur $K$ +au-dessus de $k$ et une fonction $v\colon K\to +\mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes : +\textbf{(o)} $v(f) = +\infty$ si et seulement si $f=0$,\quad +\textbf{(i)} $v(f_1 + f_2) \geq \min(v(f_1), v(f_2))$ (avec +automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad +\textbf{(ii)} $v(f_1 f_2) = v(f_1) + v(f_2)$,\quad \textbf{(k)} $v(c) += 0$ si $c\in k$,\quad et enfin \textbf{(n)} il existe $f\in K$ telle +que $v(f) = 1$. De plus, on rappelle que pour chaque point $P$ +de $C^+$ il existe une unique telle valuation discrète $v =: \ord_P$ +vérifiant en outre \textbf{(r)} $v(f) \geq 0$ si $f$ est régulière +en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$). Et +réciproquement, toute valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$ est +de cette forme (est un $\ord_P$ pour un certain $P$). + +\smallbreak + +(1) Si $v$ est une valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$, +expliquer pourquoi sa restriction à $k(x)$ vérifie encore les +propriétés (o), (i), (ii) et (k) de la définition d'une valuation +discrète. En déduire qu'elle est de la forme $e\cdot v'$ où $v'$ est +une valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$, et où $e\geq 1$ est +entier. + +\smallbreak + +On rappelle que toute valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$ +est de la forme $\val_{x_0}$ pour $x_0 \in k$ ou bien $\val_\infty$, +où $\val_{x_0}(g)$ est l'ordre d'annulation\footnote{C'est-à-dire que + $\val_{x_0}(g)$ est l'exposant de la plus grande puissance de + $x-x_0$ qui divise $g$ si $g \in k[x]$, et $\val_{x_0}(g/h) = + \val_{x_0}(g) - \val_{x_0}(h)$ en général.} de la fraction +rationnelle $g$ en $x_0$, et $\val_\infty(g)$ est le degré du +dénominateur moins le degré du numérateur. (NB : c'est seulement pour +éviter la confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a +écrit $\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en +un point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une +fonction sur $\mathbb{P}^1$ en un point $Q$ de $\mathbb{P}^1$. Il +s'agit de la même construction sur deux courbes différentes.) + +\smallbreak + +(2) Soit $P_i$ le point $(\xi_i,0)$ de $C$ (pour $1\leq i\leq 5$ +fixé). On cherche à calculer $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y)$. Montrer que +$\ord_{P_i}(g) = e\, \val_{\xi_i}(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est +un entier restant à déterminer. En déduire que $\ord_{P_i}(y) = +\frac{e}{2}$. En déduire que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) = +e\,\min(\val_{\xi_i}(g_0),\; \val_{\xi_i}(g_1)+\frac{1}{2})$. En +déduire que $e=2$ exactement, et donc que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) = +\min(2\val_{\xi_i}(g_0),\; 2\val_{\xi_i}(g_1)+1)$. + +\smallbreak + +(3) Soit $\infty$ le point à l'infini de $C^+$ (non situé sur $C$). +On cherche à calculer $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y)$ de façon analogue à +la question précédente. Montrer que $\ord_\infty(g) = e\, +\val_\infty(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est un entier restant à +déterminer (\textit{a priori} sans lien avec celui de la question +précédente). En déduire que $\ord_\infty(y) = -\frac{5e}{2}$. En +déduire que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = e\,\min(\val_\infty(g_0),\; +\val_\infty(g_1)-\frac{5}{2})$. En déduire que $e=2$ exactement, et +donc que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = \min(2\val_\infty(g_0),\; +2\val_\infty(g_1)-5)$. + +\smallbreak + +(4) Soit $Q := (x_Q,y_Q)$ un point de $C$ avec $y_Q \neq 0$ (ou, ce +qui revient au même, $x_Q \not\in \{\xi_1,\ldots,\xi_5\}$) ; on notera +$Q' := (x_Q,-y_Q)$ son symétrique. En quels points de $C^+$ la +fonction $h := x - x_Q$ a-t-elle un zéro ? En utilisant le fait que +$\sum_{Q\in C^+} \ord_Q(h) = 0$, montrer que $\ord_Q(x-x_Q) = +\ord_{Q'}(x-x_Q) = 1$. En déduire que $\ord_Q(g) = \val_{x_Q}(g)$ +pour tout $g \in k(x)$. En déduire que $\ord_Q(y - y_Q) = 1$ (on +pourra remarquer que $y^2 - y_Q^2 = p(x) - p(x_Q)$ et que $p'(x_Q) +\neq 0$). Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ n'a pas de pôle en +$Q$ ni en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra +écrire $g_0 = \frac{1}{2}(f+\tilde f)$ et $g_1 = \frac{1}{2y}(f-\tilde +f)$ où $\tilde f = g_0 - g_1\,y$ est la composée de $f$ par la +symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$). + +\smallbreak + +(5) Pour $n \in \mathbb{N}$, on s'intéresse à l'espace vectoriel +$\mathscr{L}(n[\infty])$ des fonctions rationnelles $f = g_0 + g_1\,y$ +sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $\leq n$ en $\infty$ +(c'est-à-dire $\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs +(c'est-à-dire $\ord_Q(f) \geq 0$ pour tout $Q \in C$). Montrer que +cela équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$ +et $g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$. En déduire +que la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut +$\max(0,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1) + +\max(0,\lfloor\frac{n-5}{2}\rfloor+1)$ où $\lfloor v\rfloor$ désigne +la partie entière de $v$. En déduire que +\[ +\ell(n[\infty]) = +\left\{ +\begin{array}{ll} +1,1,2&\hbox{~si $n=0,1,2$ respectivement}\\ +n-1&\hbox{~si $n\geq 3$}\\ +\end{array} +\right. +\] +(on pourra par exemple calculer les valeurs pour $n=0,1,2,3,4,5$ +séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair). On +rappelle que le théorème de Riemann-Roch prédit $\ell(n[\infty]) = n + +1 - g$ si $n$ est assez grand, où $g$ est le genre de la courbe : que +vaut $g$ ici ? + +\smallbreak + +Pour la question suivante, on rappelle que la différentielle $df$ +d'une fonction $f$ a pour ordre $\ord_Q(df) = \ord_Q(f) - 1$ si +$\ord_Q(f) \neq 0$, et $\ord_Q(df) \geq 0$ dès que $\ord_Q(f) \geq 0$. +On rappelle par ailleurs que $f \mapsto df$ est $k$-linéaire et que +$d(ff') = f\,df' + f'\,df$. + +\smallbreak + +(6) Calculer $\ord_Q(dx)$ en tout $Q \in C^+$ (y compris $\infty$ et +les cinq points $P_1,\ldots,P_5$) ; on pourra remarquer que $d(x-c) = +dx$. En déduire que le diviseur canonique de $\omega := \frac{dx}{y}$ +vaut $2[\infty]$, c'est-à-dire que $\ord_Q(\omega) = 0$ en tout point +$Q$ sauf $\ord_\infty(\omega) = 2$. Le théorème de Riemann-Roch +prédit plus exactement $\ell(n[\infty]) - \ell((2-n)[\infty])) = n + 1 +- g$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ : vérifier directement cette +affirmation à l'aide du résultat calculé à la question (5). + +\smallbreak + +(7) Aux questions (2) et (3), on a calculé exactement $\ord_Q(f)$ +(pour $f$ quelconque, écrit sous la forme $g_0 + g_1 y$) si $Q$ est +l'un des six points $P_1,\ldots,P_5,\infty$, en calculant séparément +$\ord_Q(g)$ si $g\in k(x)$ et $\ord_Q(y)$. À la question (4), on a +étudié $\ord_Q$ pour un quelconque autre point, on a calculé +$\ord_Q(g)$ et $\ord_Q(y - y_Q)$. Ceci permet-il de calculer +$\ord_Q(f)$ en général ? Si non, donner un exemple de fonction $f \in +K$ dont le calcul ne découle pas de ces valeurs. + + + +% +% +% +\end{document} |