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-rw-r--r--controle-20101123.tex18
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index 1e8452c..787399e 100644
--- a/controle-20101123.tex
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@@ -119,7 +119,7 @@ modulo�$990$, dont le plus petit positif est�$666$.
\ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
-(C)�Quels sont les entier entre $0$ et $100$ congrus � $12$ modulo�$15$
+(C)�Quels sont les entiers entre $0$ et $100$ congrus � $12$ modulo�$15$
et � $2$ modulo�$20$�?
\begin{corrige}
@@ -139,7 +139,7 @@ et $100$ v�rifiant cette congruence est�$42$.
\ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
-(D)�Quels sont les entier entre $0$ et $9000$ congrus � $18$
+(D)�Quels sont les entiers entre $0$ et $9000$ congrus � $18$
modulo�$91$ et � $24$ modulo�$105$�?
\begin{corrige}
@@ -204,8 +204,9 @@ modulo�$3\times 11\times 17 = 561$.
On admet que le polyn�me suivant dans $\mathbb{F}_2[t]$ est
irr�ductible�: $f := t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1$.
-(1)�Quel est le nombre d'�l�ments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$�? Que
-peut-on en dire et comment a-t-on l'habitude de le noter�?
+(1)�Quel est le nombre d'�l�ments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$�? (Il
+s'agit comme d'habitude des polyn�mes modulo�$f$.) Que peut-on en
+dire et comment le note-t-on�?
(2a)�Dans $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, calculer les puissances $\bar t^i$ de
l'�l�ment $\bar t$ repr�sent� par�$t$, pour $i$ allant de $0$ � $20$
@@ -219,9 +220,8 @@ t^{17}$ vaut $\bar t^3 + \bar t$, et que $\bar t^{85} = \bar t^{68}
\times \bar t^{17}$ vaut $\bar t^7 + \bar t^6 + \bar t^4 + \bar t^2 +
\bar t$.
-(3)�On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. L'�l�ment $\bar t$ est-il
-primitif�? Si non, quel est son ordre multiplicatif�? Si oui,
-comment qualifie-t-on le polyn�me�$f$�?
+(3)�On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. Quel est l'ordre multiplicatif
+de l'�l�ment $\bar t$�? Est-il primitif�?
(4)�Donner un �l�ment primitif de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, diff�rent de
$\bar t$ si on a r�pondu ci-dessus que $\bar t$ �tait primitif.
@@ -296,8 +296,8 @@ $3{\times}5{\times}17{=}255$. Or dans les questions pr�c�dentes on a
calcul� $\bar t^{15}, \bar t^{51}, \bar t^{85}$ et constat� qu'aucun
d'entre eux ne valait�$1$ (et \textit{a fortiori} pas non plus $\bar
t^3$, $\bar t^5$ ou $\bar t^{17}$). On en d�duit que l'ordre de $\bar
-t$ ne peut �tre que�$255$, c'est-�-dire que $\bar t$ est primitif. On
-dit donc que le polyn�me $f$ est primitif.
+t$ ne peut �tre que�$255$, c'est-�-dire que $\bar t$ est primitif.
+(On dit donc que le polyn�me $f$ est primitif.)
Ceci prouve que le morphisme $\psi\colon \mathbb{Z}/{255}\mathbb{Z}
\to \mathbb{F}_{256}^\times$ (du groupe additif des entiers