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diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex index 1e8452c..787399e 100644 --- a/controle-20101123.tex +++ b/controle-20101123.tex @@ -119,7 +119,7 @@ modulo�$990$, dont le plus petit positif est�$666$. \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi -(C)�Quels sont les entier entre $0$ et $100$ congrus � $12$ modulo�$15$ +(C)�Quels sont les entiers entre $0$ et $100$ congrus � $12$ modulo�$15$ et � $2$ modulo�$20$�? \begin{corrige} @@ -139,7 +139,7 @@ et $100$ v�rifiant cette congruence est�$42$. \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi -(D)�Quels sont les entier entre $0$ et $9000$ congrus � $18$ +(D)�Quels sont les entiers entre $0$ et $9000$ congrus � $18$ modulo�$91$ et � $24$ modulo�$105$�? \begin{corrige} @@ -204,8 +204,9 @@ modulo�$3\times 11\times 17 = 561$. On admet que le polyn�me suivant dans $\mathbb{F}_2[t]$ est irr�ductible�: $f := t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1$. -(1)�Quel est le nombre d'�l�ments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$�? Que -peut-on en dire et comment a-t-on l'habitude de le noter�? +(1)�Quel est le nombre d'�l�ments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$�? (Il +s'agit comme d'habitude des polyn�mes modulo�$f$.) Que peut-on en +dire et comment le note-t-on�? (2a)�Dans $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, calculer les puissances $\bar t^i$ de l'�l�ment $\bar t$ repr�sent� par�$t$, pour $i$ allant de $0$ � $20$ @@ -219,9 +220,8 @@ t^{17}$ vaut $\bar t^3 + \bar t$, et que $\bar t^{85} = \bar t^{68} \times \bar t^{17}$ vaut $\bar t^7 + \bar t^6 + \bar t^4 + \bar t^2 + \bar t$. -(3)�On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. L'�l�ment $\bar t$ est-il -primitif�? Si non, quel est son ordre multiplicatif�? Si oui, -comment qualifie-t-on le polyn�me�$f$�? +(3)�On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. Quel est l'ordre multiplicatif +de l'�l�ment $\bar t$�? Est-il primitif�? (4)�Donner un �l�ment primitif de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, diff�rent de $\bar t$ si on a r�pondu ci-dessus que $\bar t$ �tait primitif. @@ -296,8 +296,8 @@ $3{\times}5{\times}17{=}255$. Or dans les questions pr�c�dentes on a calcul� $\bar t^{15}, \bar t^{51}, \bar t^{85}$ et constat� qu'aucun d'entre eux ne valait�$1$ (et \textit{a fortiori} pas non plus $\bar t^3$, $\bar t^5$ ou $\bar t^{17}$). On en d�duit que l'ordre de $\bar -t$ ne peut �tre que�$255$, c'est-�-dire que $\bar t$ est primitif. On -dit donc que le polyn�me $f$ est primitif. +t$ ne peut �tre que�$255$, c'est-�-dire que $\bar t$ est primitif. +(On dit donc que le polyn�me $f$ est primitif.) Ceci prouve que le morphisme $\psi\colon \mathbb{Z}/{255}\mathbb{Z} \to \mathbb{F}_{256}^\times$ (du groupe additif des entiers |