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authordavid <david>2009-01-12 18:44:26 (GMT)
committerdavid <david>2009-01-12 18:44:26 (GMT)
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--- a/controle-20081202.tex
+++ b/controle-20081202.tex
@@ -565,8 +565,23 @@ $\mathbb{F}_p[t] / (t^3-a) \cong \mathbb{F}_p \times
\exercice
-Montrer que tout $x \in \mathbb{F}_{32}^\times$ est primitif. Combien
-d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ?
+Montrer que tout $x \in \mathbb{F}_{32}^\times$ est primitif [erreur
+ dans l'énoncé : il fallait ajouter la précision « sauf $x=1$ »].
+Combien d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ?
+
+\begin{corrige}
+D'après le cours, on sait que $\mathbb{F}_{q}^\times$ est un groupe
+cyclique (d'ordre $q-1$) pour toute puissance $q$ d'un nombre premier
+(notamment $32 = 2^5$ et $64 = 2^6$). Également d'après le cours, le
+nombre de générateurs d'un groupe cyclique (appelés éléments primitifs
+lorsqu'il s'agit comme ici du groupe multiplicatif d'un corps fini)
+est $\varphi(n)$ où $n$ est l'ordre de ce groupe. Le nombre
+d'éléments primitifs dans $\mathbb{F}_{32}^\times$ est donc
+$\varphi(32-1) = \varphi(31) = 30$, c'est-à-dire tous sauf
+($0$ et) $1$, et le nombre d'éments primitifs dans
+$\mathbb{F}_{64}^\times$ vaut $\varphi(64-1) = \varphi(63) =
+\frac{1}{2}\times\frac{6}{7}\times 63 = 36$.
+\end{corrige}
%
%
@@ -577,6 +592,31 @@ d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ?
Le polynôme $t^2 + 1 \in \mathbb{F}_3[t]$ est-il irréductible ?
Est-il primitif ?
+\begin{corrige}
+Pour tester l'irréductibilité de $t^2 + 1 \in \mathbb{F}_3[t]$, on
+peut se contenter de vérifier qu'il n'a pas de racine (soit : $0^2+1
+\neq 0$ et $1^2+1\neq 0$ et $2^2+1\neq 0$ dans $\mathbb{F}_3$),
+puisque s'il se factorisait les facteurs auraient degré $1$ et $1$
+donc correspondraient à des racines. Mais on peut également préférer
+appliquer mécaniquement le test de Rabin : on vérifie que $t^2+1$
+divise $t^9-t \in \mathbb{F}_3[t]$ (de fait, $t^9-t = (t^7-t^5+t^3-t)
+(t^2+1)$) et qu'il est premier avec $t^3-t$ (de fait, $t^3-t =
+t(t^2+1) + t$ et $t^2+1 = t\times t + 1$). Ce polynôme est bien
+irréductible.
+
+Maintenant qu'on sait que $t^2+1 \in \mathbb{F}_3[t]$ est
+irréductible, on a une représentation du corps à $9$ éléments :
+$\mathbb{F}_9 \cong \mathbb{F}_3[t]/(t^2+1)$. La question est de
+savoir si l'élément $\bar t$ de ce corps est primitif. Or $\bar t^2 =
+-1$ donc $\bar t^4 = 1$, donc cet élément est d'ordre $4$, qui est
+plus petit que l'ordre $9-1=8$ du groupe multiplicatif
+$\mathbb{F}_9^\times$ : l'élément $\bar t$ n'est pas primitif (plus
+explicitement, les seuls éléments de $\mathbb{F}_9 \cong
+\mathbb{F}_3[t]/(t^2+1)$ qui sont des puissances de $\bar t$ sont $\pm
+1$ et $\pm t$). Cela signifie (par définition) que le polynôme $t^2+1
+\in \mathbb{F}_3[t]$ n'est pas primitif.
+\end{corrige}
+
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