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path: root/controle-20081202.tex
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authordavid <david>2008-12-08 18:13:46 (GMT)
committerdavid <david>2008-12-08 18:13:46 (GMT)
commitab853785f483befb8f9504782863feaf45716505 (patch)
treeb286cadcc9e477b657f019f9aa50ee680dc2e4d6 /controle-20081202.tex
parent0684099989ef1913b1650f5258765a1e5c0a1990 (diff)
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Solution to exercise 2.
Diffstat (limited to 'controle-20081202.tex')
-rw-r--r--controle-20081202.tex28
1 files changed, 28 insertions, 0 deletions
diff --git a/controle-20081202.tex b/controle-20081202.tex
index 7710f9f..094350a 100644
--- a/controle-20081202.tex
+++ b/controle-20081202.tex
@@ -148,6 +148,34 @@ d'années faut-il attendre approximativement, à partir d'un jour donné,
pour retrouver pour la première fois un jour ayant la même
dénomination dans les deux calendriers (Tzolkin et Haab) à la fois ?
+\begin{corrige}
+(1) Le cycle complet du Tzolkin est le plus petit nombre multiple à la
+ fois de $13$ (à cause du cycle de $13$ jours) et de $20$ (à cause du
+ cycle de $20$ jours), c'est-à-dire le ppcm de $13$ et de $20$.
+ Comme $13$ et $20$ sont premiers entre eux, c'est $13\times 20 =
+ 260$.
+
+(2) Si le prochain jour « 10 Oc » a lieu $n$ jours après le
+ 2 décembre 2008 (6 Ahau), alors $n \equiv 4 \pmod{13}$ puisque dans
+ le cycle de $13$ jours on est passé de $6$ à $10$, et $n \equiv 10
+ \pmod{20}$ puisqu'on est $10$ dieux plus loin dans le cycle de
+ $20$ jours. On a la relation de Bézout $2\times 20 - 3\times 13 =
+ 1$, donc $n$ est congru à $(4 \times 2) \times 20 - (10 \times 3)
+ \times 13$ modulo $260$ : dans cette expression, il suffit de
+ calculer $10\times 3$ modulo $20$ (c'est $10$), on trouve donc
+ $8\times 20 - 10\times 13 = 160-130 = 30$ (on vérifie $30 \equiv 4
+ \pmod{13}$ et $30 \equiv 10 \pmod{20}$) : le prochain « 10 Oc » a
+ donc lieu $30$ jours après le 2 décembre 2008 (c'est-à-dire le
+ 1er janvier 2009).
+
+(3) Le cycle complet du calendrier (Tzolkin+Haab) est le plus petit
+ nombre multiple à la fois de $260$ (à cause du Tzolkin) et de $365$
+ (à cause du Haab), c'est-à-dire le ppcm de $260 = 2^2\times 5 \times
+ 13$ et de $365 = 5 \times 73$ : c'est donc $2^2\times 5 \times 13
+ \times 73$, c'est-à-dire $2^2\times 13\times 365$ jours, ou encore
+ environ $2^2\times 13 = 52$ ans.
+\end{corrige}
+
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%
%