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diff --git a/exercices2.tex b/exercices2.tex index 7cee362..ae64332 100644 --- a/exercices2.tex +++ b/exercices2.tex @@ -150,7 +150,8 @@ le morphisme de Frobenius) ? Quel est le degré de $\bar t$ ? dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^3$, puis $\bar t^9 = \bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ (car - $\bar t^5 = 1$ à ce qu'on a vu), et ensuite on retombe sur $\bar + $\bar t^5 = 1$ à ce qu'on a vu), puis $\bar t^{27} = \bar t^2$ (car + $\bar t^{25} = (\bar t^5)^5 = 1$), et ensuite on retombe sur $\bar t^{81} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est forcément le degré de $P$). \end{corrige} @@ -165,10 +166,10 @@ le morphisme de Frobenius) ? Quel est le degré de $\bar t$ ? est irréductible. Combien d'éléments a $F := \mathbb{F}_2[t]/(P)$ ? (B) Dresser la liste des puissances successives de $\bar t$ dans $F$. -Quel est l'ordre de $\bar t$ ? Est-il primitif ? Quel est l'inverse -de $\bar t$ ? Quels sont tous les éléments primitifs de $F$ ? Quel -est l'ordre multiplicatif de $\bar t^3$ ? Même question pour $\bar -t^5$. +Quel est l'ordre multiplicatif de $\bar t$ ? Est-il primitif ? Quel +est l'inverse de $\bar t$ ? Quels sont tous les éléments primitifs +de $F$ ? Quel est l'ordre multiplicatif de $\bar t^3$ ? Même +question pour $\bar t^5$. (C) Quels sont les conjugués de $\bar t$ ? Quel est son degré ? Mêmes questions pour $\bar t^3$. Mêmes questions pour $\bar t^5$. diff --git a/rappels-maths.tex b/rappels-maths.tex index 38d9494..f964043 100644 --- a/rappels-maths.tex +++ b/rappels-maths.tex @@ -1407,7 +1407,7 @@ de $\mathbb{F}_p$). On a vu plus haut que $x^{p^d} = x$ (c'est le petit théorème de Fermat), autrement dit, au bout de $d$ applications du Frobenius on -retombe sur l'élément $x$ de départ ; il se peut qu'on retombe sur $d$ +retombe sur l'élément $x$ de départ ; il se peut qu'on retombe sur $x$ plus tôt : le plus petit $r$ tel que $x^{p^r} = x$, qui est aussi le nombre de conjugués distincts de $x$, s'appelle le \textbf{degré} absolu de $x$ (ou : degré de $x$ au-dessus de $\mathbb{F}_p$), et ce |